Question

3．已知幂函数$f（x）={x^{{m^2}-2m-3}}（m∈Z）$的图象关于y轴对称，并且f（x）在第一象限是单调递减函数．
（1）求m的值；
（2）解不等式f（1-2x）≥f（2）．

Answer 1

分析 利用幂函数的奇偶性和单调性即可求出．

解答 解：因为幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈Z）的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）是偶函数，
∴m²-2m-3为偶数，
∴m²-2m为奇函数，
故m=1；
（2）∵f（x）在第一象限是单调递减函数，f（x）为偶函数，
又f（1-2x）≥f（2），
∴|1-2x|≤2，
解得：-$\frac{1}{2}$≤x$≤\frac{3}{2}$．

点评 熟练掌握幂函数的奇偶性和单调性是解题的关键