Question

12．已知函数f（x）=xlnx．
（I）记函数g（x）=$\frac{a{x}^{2}}{2}$，若?x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数h（x）=（k-3）x-k+2，若x＞1时f（x）＞h（x）恒成立，求整数k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）?x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，相当于a＞$\frac{2lnx}{x}$在x∈[1，e]上有解，只需求出右式的最小值即可．利用构造函数，求导函数的方法求出函数最值．
（Ⅱ）x＞1时，k＜$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$恒成立，只需求出右式的最小值即可，利用构造函数，利用导函数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值．

解答 解：（Ⅰ）?x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，
∴?x₀∈[1，e]，xlnx＜$\frac{a{x}^{2}}{2}$，
∴a＞$\frac{2lnx}{x}$在x∈[1，e]上有解，
令F（x）=$\frac{2lnx}{x}$，F'（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$
∵1≤x≤e时，F'（x）≥0，F（x）为增函数，
∴F（x）≥F（1）=0，
∴a＞0；
（Ⅱ）x＞1时f（x）＞h（x）恒成立，
∴xlnx＞（k-3）x-k+2，
∴k＜$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，
令H（x）=$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，
∴H'（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
记M（x）=x-lnx-2，M'（x）=1-$\frac{1}{x}$，
当x＞1时，M'（x）＞0，M（x）递增，
∵M（3）=1-ln3＜0，M（4）=2-ln4＞0，
∴?x₀∈（3，4），使得M（x₀）=0，即H'（x₀）=0，
∴H（x）_min=H（x₀）=$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}+3{x}_{0}-2}{{x}_{0}-1}$，
∵M（x₀）=0，lnx₀=x₀-2，
∴H（x）_min=$\frac{（{x}_{0}-1）（{x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀+2，
∴k＜x₀+2，x₀∈（3，4），
∴整数k的最大值为5．

点评 考查了在某一区间上有解和恒成立问题．注意区分不同，都和最值有关．