Question

1．函数f（x）是定义域为R的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂（1+x）
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-5）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-log₂（1-x），…（5分）
当x=0时，由于f（x）为奇函数，f（x）=0．
综上，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}（1+x），x＞0}\\{0，x=0}\\{-{{log}_2}（1-x），x＜0}\end{array}}\right.$．…（7分）
（少了x=0的情况得5分）
（2）f（t²-2t）+f（2t²-5）＜0⇒f（t²-2t）＜-f（2t²-5），
由于f（x）为奇函数，则f（t²-2t）＜f（5-t²），…（9分）
由于f（x）在R上单调递增，则t²-2t＜5-2t²⇒3t²-2t-5＜0…（11分）
⇒$t∈（{-1，\frac{5}{3}}）$．…（14分）

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．