Question

7．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一点P到它的左焦点与右准线的距离分别为d₁和d₂，P点到y轴的距离为d₃，若$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=2e（e为此双曲线的离心率），则$\frac{{d}_{3}}{{d}_{2}}$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设d₀为P到右焦点的距离，则由双曲线定义可知$\frac{{d}_{0}}{{d}_{2}}$=e，求出ed₂=2a，表示出d₃=d₂+$\frac{{a}^{2}}{c}$，即可求出$\frac{{d}_{3}}{{d}_{2}}$．

解答 解：设d₀为P到右焦点的距离，则由双曲线定义可知$\frac{{d}_{0}}{{d}_{2}}$=e；
已知$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=2e，所以d₁=2d₀；
因为d₁-d₀=2a，将上式代入可得d₀=2a，d₁=4a；
从而2e×d₂=d₁=4a，所以ed₂=2a．
P到y轴的距离等于P到右准线的距离加上右准线到y轴的距离，所以d₃=d₂+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
所以$\frac{{d}_{3}}{{d}_{2}}$=1+$\frac{a}{e{d}_{2}}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．