Question

16．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n．
（1）求数列{a_n}．
（2）设c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，a₁=S₁；n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项；
（2）求得c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{4n•4（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）S_n=2n²+2n，可得
n=1时，a₁=S₁=4；
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+2n-2（n-1）²-2（n-1）=4n，对n=1也成立．
故a_n=4n；
（2）c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{4n•4（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有前n项和为T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．