Question

11．设a＞0，函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$是定义在R上的偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）直接运用函数奇偶性性的定义求函数的解析式；
（2）运用函数单调性的定义和指数函数的性质证明函数的单调性．

解答 解：（1）因为f（x）为R上的偶函数，
所以，f（-x）=f（x）恒成立，
即$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{-x}}$，
整理得，（a-$\frac{1}{a}$）•（e^x-e^-x）=0，
所以，a-$\frac{1}{a}$=0且a＞0，解得a=1，
因此，f（x）=e^x+e^-x；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{-{x}_{1}}$）-（${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{2}}$）
=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）+（${e}^{-{x}_{1}}$-${e}^{-{x}_{2}}$）=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{2}}}$
=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{2}}}$，
因为x₂＞x₁＞0，所以，${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，$\frac{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{2}}}$＞0，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x）为（0，+∞）上的增函数．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法，以及运用函数奇偶性和单调性的定义，考查了指数函数的图象和性质，属于中档题．