Question

16．设关于x的不等式x²+（a-1）x+a+2≤0的解集为A．
（1）若a=8，求A；
（2）若A≠∅，求实数a的取值范围；
（3）若“x∈A”是“x∈[1.2]”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=8代入不等式，解出即可；（2）根据二次函数的性质得到关于a的不等式，解出即可；（3）先求出集合A，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=8时：解不等式x²+7x+10≤0，得：-5≤x≤-2，
∴A=[-5，-2]；
（2）若A≠∅，则△=（a-1）²-4（a+2）≥0，解得：a≥7或a≤-1；
（3）由x²+（a-1）x+a+2≤0，
解得A=[$\frac{-（a-1）-\sqrt{{a}^{2}-6a-7}}{2}$，$\frac{-（a-1）+\sqrt{{a}^{2}-6a-7}}{2}$]，
若“x∈A”是“x∈[1.2]”的必要不充分条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-（a-1）-\sqrt{{a}^{2}-6a-7}}{2}≤1}\\{\frac{-（a-1）+\sqrt{{a}^{2}-6a-7}}{2}≥2}\end{array}\right.$，（“=”不同时成立），
解得：a≤-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道中档题．