Question

11．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点为F，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，当△FAB周长最大时，△FAB的面积为（　　）

• A． $\frac{12\sqrt{2}}{7}$
• B． $\frac{2\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{6\sqrt{2}}{7}$
• D． 3

Answer 1

分析 由椭圆方程求出左焦点坐标，设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，由判别式大于0求出m的范围，再由弦长公式和焦半径公式得到△FAB周长，由导数求得最大值，并得到此时m的值，进一步求得|AB|，由点到直线的距离公式求出F到l的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，知a²=4，b²=3，∴c²=a²-b²=1．
∴F（-1，0），
设直线l的方程为y=x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得7x²+8mx+4m²-12=0．
由△=64m²-28（4m²-12）＞0，得$-\sqrt{7}＜m＜\sqrt{7}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{7}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{8m}{7}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-12}{7}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}\sqrt{21-3{m}^{2}}$．
|AF|+|BF|=$2a+\frac{c}{a}（{x}_{1}+{x}_{2}）=4+\frac{1}{2}×（-\frac{8m}{7}）$=$4-\frac{4m}{7}$．
∴△FAB周长为$\frac{4\sqrt{2}}{7}\sqrt{21-3{m}^{2}}+4-\frac{4m}{7}$．
令f（m）=$\frac{4\sqrt{2}}{7}\sqrt{21-3{m}^{2}}+4-\frac{4m}{7}$．
则f′（x）=$-\frac{4\sqrt{6}m+4\sqrt{7-{m}^{2}}}{7\sqrt{7-{m}^{2}}}$，由f′（x）=0，得m=-1．
∴当m=-1时，△FAB的周长有最大值．
此时|AB|=$\frac{24}{7}$，
直线l的方程为x-y-1=0．
则F到直线l的距离d=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$．
则△FAB的面积为$\frac{1}{2}×\frac{24}{7}×\sqrt{2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中档题．