Question

3．已知A，B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的两个动点，O为坐标原点，满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．
（1）求证：$\frac{1}{|{\overrightarrow{OA}|}^{2}}$+$\frac{1}{|{\overrightarrow{OB}|}^{2}}$为定值；
（2）动点P在线段AB上，满足$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，求证：点P在定圆上．

Answer 1

分析 （1）设A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），则r=|$\overrightarrow{OA}$|，k=|$\overrightarrow{OB}$|，将A，B代入椭圆方程，再由向量垂直的坐标表示，结合和角及同角的平方关系，化简整理即可得证；
（2）运用三角形的面积公式和勾股定理，化简整理可得|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，即可得到P的轨迹．

解答 证明：（1）设A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），
则r=|$\overrightarrow{OA}$|，k=|$\overrightarrow{OB}$|，
点A在椭圆上，即有$\frac{{r}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+$\frac{{r}^{2}si{n}^{2}θ}{9}$=1，可得
$\frac{1}{{r}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{9}$；
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0得，cosθcosα+sinθsinα=0，即为cos（θ-α）=0，
即有cos²α=sin²θ，cos²θ=sin²α．
同理可得，$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}α}{4}$+$\frac{si{n}^{2}α}{9}$．
所以$\frac{1}{|{\overrightarrow{OA}|}^{2}}$+$\frac{1}{|{\overrightarrow{OB}|}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{4}$+$\frac{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}{9}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{13}{36}$为定值；
（2）由三角形面积公式，得|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|，
所以|$\overrightarrow{OP}$|²•|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{OA}$|²•|$\overrightarrow{OB}$|²，
由勾股定理可得，|$\overrightarrow{OP}$|²•（|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{OB}$|²）=|$\overrightarrow{OA}$|²•|$\overrightarrow{OB}$|²，
即有|$\overrightarrow{OP}$|²•（$\frac{1}{|{\overrightarrow{OA}|}^{2}}$+$\frac{1}{|{\overrightarrow{OB}|}^{2}}$）=1，
由（1）可得|$\overrightarrow{OP}$|²•$\frac{13}{36}$=1，即为|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．

则点P在以原点为圆心，$\frac{6\sqrt{13}}{13}$为半径的圆上．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．