Question

12．已知函数f（x）=2sin²x+sin2x-1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（3）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）先用降幂公式，辅助角公式化简函数式，得出最小正周期；
（2）结合正弦函数图象图得出最值和相应x的取值；
（3）运用三角函数的图象和性质确定该函数的单调区间．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-（1-2sin²x）
=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
函数的最小正周期为：T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）由（1）可知f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，
令2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{3π}{8}$，
即f（x）的最大值$\sqrt{2}$，
此时，x取值的集合为{x|x=x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}；
（3）令2x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，
解得x∈[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，
即函数的单调递减区间为：[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换和复合三角函数的单调性，涉及降幂公式和辅助角公式的应用，属于中档题．