Question

12．设f（x）的定义域为[-3，3]，且f（x）是奇函数，当x∈[0，3]时，f（x）=x（1-3^x）．
（1）求当x∈[-3，0）时，f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＜-8x．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可．
（2）根据函数的解析式，利用分类讨论的思想解不等式即可．

解答 解：（1）若x∈[-3，0），则-x∈（0，3]，
即f（-x）=-x（1-3^-x）．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-x（1-3^-x）=-f（x），
即f（x）=x（1-3^-x）．x∈[-3，0）．
（2）若x∈[0，3]时，由f（x）=x（1-3^x）＜-8x．
得1-3^x＜-8，即3^x＞9，即2＜x≤3，
若x∈[-3，0）时，由f（x）=x（1-3^-x）＜-8x．
得1-3^-x＞-8，即3^-x＜9，即-2＜x＜0，
综上不等式的解集为（-2，0）∪（2，3]．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，利用函数奇偶性的对称性以及指数函数的性质是解决本题的关键．