Question

5．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2^x-log₂x的零点有且只有1；③$\sqrt{x-1}（x-2）≥0$的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是④．

Answer 1

分析 ①根据幂函数的定义知，y=1是常数函数，不是幂函数；②函数f（x）=2^x-log₂x的零点个数即为函数y=2^x与y=log₂x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可；③解不等式即可求得结论；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件．

解答 解；①y=1是常数函数，不是幂函数．故错；
②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数f（x）=2^x-log₂x没有零点，故错；
③$\sqrt{x-1}$（x-2）≥0?$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x-2≥0}\end{array}\right.$，或x=0，解得x≥2或x=1，故$\sqrt{x-1}$（x-2）≥0的解集为[2，+∞）∪{0}，错；
④“x＜1”⇒“x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，正确；
故答案为④．

点评 此题是个基础题．考查利用导数求函数图象在某点的切线方程，不等式的解法，函数零点问题等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．