Question

13．设无穷等比数列{a_n}的公比为q，若a₁=$\lim_{n→∞}（{a_3}+{a_4}+…+{a_n}）$，则q=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由于q为无穷等比数列{a_n}的公比，即有0＜|q|＜1，由无穷等比数列的极限公式可得$\underset{lim}{n→∞}$（a₃+a₄+…+a_n）=$\frac{{a}_{3}}{1-q}$，再由等比数列的通项公式，解方程可得公比q．

解答 解：由于q为无穷等比数列{a_n}的公比，即有0＜|q|＜1，
由${a_1}=\lim_{n→∞}（{a_3}+{a_4}+…+{a_n}）$，可得
a₁=$\frac{{a}_{3}}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}}{1-q}$，
即为q²+q-1=0，
解得q=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$舍去），
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查数列的极限的求法，注意运用无穷等比数列的极限公式，考查运算能力，属于中档题．