Question

1．下列说法正确的是④（只填正确说法序号）
①若集合A={y|y=x-1}，B={y|y=x²-1}，则A∩B={（0，-1），（1，0）}；
②$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{2-x}$是函数解析式；
③$y=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{3-|3-x|}$是非奇非偶函数；
④设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），则f（x₁+x₂）=c．

Answer 1

分析 ①由集合A={y|y=x-1}=R，B={y|y=x²-1}=[-1，+∞），即可得出A∩B=[-1，+∞），进而判断出正误；
②由$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，解得x∈∅，即可判断出正误；
③由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{|3-x|≠3}\end{array}\right.$，解得-1≤x≤1，且x≠0，可知：函数的定义域关于原点对称．化为y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$=f（x），满足f（-x）=-f（x），即可判断出奇偶性；
④利用已知可得：x₁+x₂=$2×（-\frac{b}{2a}）$=$-\frac{b}{a}$．计算出f（x₁+x₂）=$f（-\frac{b}{a}）$，即可判断出正误．

解答 解：①由集合A={y|y=x-1}=R，B={y|y=x²-1}=[-1，+∞），则A∩B=[-1，+∞），因此不正确；
②由$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，解得x∈∅，因此$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{2-x}$不是函数解析式，不正确；
③由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{|3-x|≠3}\end{array}\right.$，解得-1≤x≤1，且x≠0，∴函数的定义域为{x|-1≤x≤1，且x≠0}，关于原点对称．∴$y=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{3-|3-x|}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$=f（x），满足f（-x）=-f（x），因此是奇函数，故不正确；
④设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），则x₁+x₂=$2×（-\frac{b}{2a}）$=$-\frac{b}{a}$．∴f（x₁+x₂）=$f（-\frac{b}{a}）$=$a×（-\frac{b}{a}）^{2}$+b×$（-\frac{b}{a}）$+c=c，因此正确．
综上可得：只有④正确．
故答案为：④．

点评 本题考查了函数的性质、集合的运算、简易逻辑的判定方法，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．