Question

13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．
（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；
（Ⅱ）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线．
（Ⅱ）DM=OD-OM=$\frac{1}{2}$（AC-AB），从而DM•AC+DM•AB=$\frac{1}{2}$（AC-AB）•（AC+AB）=$\frac{1}{2}$BC²，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．

解答 证明：（Ⅰ）连接BE，OE，
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，
∴∠ABE=∠C，
∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．
（Ⅱ）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴DM=OD-OM=$\frac{1}{2}$（AC-AB），
∴DM•AC+DM•AB
=DM•（AC+AB）
=$\frac{1}{2}$（AC-AB）•（AC+AB）
=$\frac{1}{2}$（AC²-AB²）
=$\frac{1}{2}$BC²
=DE•BC．
∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．

点评 本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．