Question

3．过P（8，3）作双曲线9x²-16y²=144的弦AB，且P为弦AB中点，那么直线AB的方程为3x-2y-18=0．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由P为弦AB中点，
可得x₁+x₂=16，y₁+y₂=6，
又9x₁²-16y₁²=144，9x₂²-16y₂²=144，
相减可得，9（x₁+x₂）（x₁-x₂）-16（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即为9（x₁-x₂）-6（y₁-y₂）=0，
可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
则直线的方程为y-3=$\frac{3}{2}$（x-8），即3x-2y-18=0．
故答案为：3x-2y-18=0．

点评 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．