Question

设F是椭圆

x2

7

+

y2

6

=1的右焦点．
（1）若P是椭圆上一动点，则|FP|取最小值时，P点的坐标为

 

；
（2）若椭圆上至少有9个不同的点P_i（i=1，2，3，…），使|FP₁|、|FP₂|、|FP₃|…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）P为右顶点时，|FP|取最小值，即可求出P点的坐标；
（2）分类讨论，利用等差数列的性质，即可求得结论．

解答： 解：（1）∵F是椭圆

x2

7

+

y2

6

=1的右焦点，
∴P为右顶点时，|FP|取最小值，P点的坐标为(

7

，0)；
（2）若这个等差数列是增数列，则
∵a₉=a₁+8d，∴a₉-a₁=8d，
∴0＜8d≤（

7

+1）-（

7

-1），
解得0＜d≤

1

4

．
若这个等差数列是减数列，则
∵a₉=a₁+8d，∴a₉-a₁=8d，
∴（

7

-1）-（

7

+1）≤8d＜0，
解得-

1

4

≤d＜0．
∴d的取值范围为[-

1

4

，0)∪(0，

1

4

]．
故答案为：(

7

，0)；[-

1

4

，0)∪(0，

1

4

]．

点评：本题以椭圆知识为载体考查数列知识，考查学生分析解决问题的能力．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．