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正四面体的四个顶点都在一个球面上,且正四面体的高为4,则球的表面积为(  )
A.16(12-6
3
B.18πC.36πD.64(6-4
2
如图所示:设正四面体的棱长等于a,球的半径等于r,作AH垂直于平面BCD,H为垂足.
则BH=
2
3
•BD
=
2
3
3
2
a
=
3
3
a,故AH=
AB2-BH2
=
a2-(
3
a
3
)
2
=
6
3
a

再由AH=4,可得
6
3
a
=4,∴a=
12
6

Rt△BOH中,由勾股定理可得 r2=(4-r)2+(
3
3
a)
2
,解得r=3.
故球的表面积为4πr2=36π,
故选C.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有两个动点E,F,且EF=a(a为常数).
(Ⅰ)在平面ABC内确定一条直线,使该直线与直线CE垂直;
(Ⅱ)判断三棱锥B-CEF的体积是否为定值.若是定值,求出这个三棱锥的体积;若不是定值,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为4
3
π
,则该正方体的表面积为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则三棱锥D1-AB1C的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为(  )
A.1:3B.1:4C.1:2D.1:6

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知圆锥的底面半径为3,体积是12π,则圆锥侧面积等于______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若一个球的体积扩大为原来的8倍,则其表面积扩大为原来的______倍.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=
5
5
,直线l交椭圆于M、N两点.
(1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长;
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB中点,E是AC的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.
(1)求异面直线AB与DE所成的角;
(2)若M,N分别为棱AC,BC上的动点,求△DMN周长的平方的最小值;
(3)在三棱锥D-ABC的外接球面上,求A,B两点间的球面距离和外接球体积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列说法不正确的是(  )
A.如果一条直线的两点在一个平面内,则这条直线的所有点都在这个平面内
B.如果两个平面有一个公共点,则它们还有其他公共点,且它们都在一条直上
C.三点确定一个平面
D.平行于同一条直线的两条直线互相平行

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