Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；

（Ⅱ）若 恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的定义域为，在定义域上是奇函数。

（Ⅱ）

（Ⅲ）时,成立.

【解析】

试题（1）判断函数奇偶性的方法：1、先求出函数定义域若关于原点对称,则进行第二步；若不关于原点对称则为非奇非偶函数2、再判断与的关系，如果相等则是偶函数，如若互为相反数则是奇函数，若不能确定则为非奇非偶函数（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）（3）证明不等式可以利用作差法，也可构造函数，利用函数的单调性解决

试题解析：（Ⅰ）由，解得或，

∴ 函数的定义域为

当时，

∴在定义域上是奇函数。

（Ⅱ）由时，恒成立，

∴

∴在成立

令，，由二次函数的性质可知

时函数单调递增，时函数单调递减，

时，

∴

（Ⅲ）=

构造函数，

当时，，∴在单调递减，

当（）时， .