【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,上顶点为
,
的面积为1,且椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点在椭圆上且位于第二象限,过点
作直线
,过点
作直线
,若直线
的交点
恰好也在椭圆
上,求点
的坐标.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据题设条件,列出的方程组,结合
,求得
的值,即可得到椭圆的标准方程;
(2)设,分
和
两种情况讨论,当
时,联立
的方程组,取得
,再结合椭圆的对称性,列出方程组,即可求解
(1)由椭圆的上顶点为
,
的面积为1,且椭圆
的离心率为
,
可得,解得
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)由(1)知,椭圆的方程,可得
,
,
设,则
,
.
当时,
与
相交于点
不符合题意;
当时,直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
因为,
,所以直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
所以直线的方程为
,直线
的方程为
,
联立和
的方程,解得
,
,所以
,
因为点在椭圆
上,由椭圆的对称性,可知
,
所以或
,
由方程组,解得
,而方程组
无解(舍去),
所以点的坐标为
.
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【题目】赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约公元222年,赵爽为《周碑算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,又称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图(1)),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图(2)所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大正三角形,设,若在大正三角形中随机取一点,则此点取自小正三角形的概率为( )
A.B.
C.D.
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【题目】已知点N在曲线上,直线
与
轴交于点
,动点
满足
,记点
的轨迹为
(1)求的轨迹方程;
(2)若过点的直线
与
交于
两点,点
在直线
上 (
为坐标原点),求证:
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【题目】(12分)已知函数 .
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在 上为单调增函数,求a的取值范围;
(3)设m,n为正实数,且m>n,求证: .
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【题目】居民消费价格指数(Consumer Price Index,简称),是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数,综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月
数据同比和环比涨跌幅折线图:
(注:同比,同比涨跌幅
,环比
,环比涨跌幅
),则下列说法正确的是( )
A.2019年12月与2018年12月相等
B.2020年3月比2019年3月上涨4.3%
C.2019年7月至2019年11月持续增长
D.2020年1月至2020年3月持续下降
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【题目】已知椭圆的短轴长为
,左右焦点分别为
,
,点
是椭圆上位于第一象限的任一点,且当
时,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上点
与点
关于原点
对称,过点
作
垂直于
轴,垂足为
,连接
并延长交
于另一点
,交
轴于点
.
(ⅰ)求面积最大值;
(ⅱ)证明:直线与
斜率之积为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示的几何体中,垂直于梯形
所在的平面,
为
的中点,
,四边形
为矩形,线段
交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点
,使得
与平面
所成角的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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