Question

【题目】已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得的值，即可得到得出数列的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解．

（Ⅰ）设等差数列的公差为，

因为，，可得，解得，

所以，

对于数列，当时，，解得.

当时，，，

两式相减，得，即，

所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.

令，

当时，.

当时，，

则.

两式相减，得

，

得，而时也符合该式，所以，

故题中不等式可化为.（*），

当时，不等式（*）可化为，解得；

当时，不等式（*）可化为，此时；

当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以，

综上，实数的取值范围是.