Question

【题目】如图，在四棱锥中，等边三角形所在的平面垂直于底面，， ，是棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判断直线与平面的是否平行，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析 (Ⅱ) （Ⅲ）直线与平面不平行

【解析】

（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理直接证得结果；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求解出平面和平面的法向量，然后求出法向量夹角的余弦值，由二面角为锐二面角，可得到所求二面角的余弦值；（Ⅲ）求解平面的法向量，可知与法向量不垂直，由此得到结论为不平行.

（Ⅰ）证明：平面平面，平面平面，平面且

平面

（Ⅱ）取的中点，连结，

又 四边形是平行四边形

平面

建立如图所示空间直角坐标系

则，，，，

，

设为平面的一个法向量，由

得令，得，，所以

因为轴垂直于平面，所以取平面的一个法向量

所以二面角的余弦值为

（Ⅲ）直线与平面不平行

理由如下：，

设为平面的一个法向量，由

得令，得，所以

所以与不垂直，又因为平面

所以直线与平面不平行