【题目】已知函数,函数.
(1)求函数在上的最小值;
(2)函数,若在其定义域内有两个不同的极值点,求a的取值范围;
(3)记的两个极值点分别为,且.已知,若不等式恒成立,求的取值范围.注:为自然对数的底数.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)计算,判断在的符号,可得的单调性,可得结果.
(2)计算,采用等价转化思想,有两个不同的实数根,然后分离参数,并构建新的函数,判断新函数的单调性,求得极值,最后与比较大小,可得结果.
(3)通过两边取对数以及,化简式子, 可得,利用换元法并构造函数,根据导数研究函数的性质,可得结果
(1)由题可知:
当,
所以在区间单调递增,
所以,
(2),定义域为
则,
由在其定义域内有两个不同的极值点
则在有两个不同的实数根
等价于在有两个不同的实数根
等价于函数图象在有两个交点
则
令,则
令,则
所以在递增,在递减
则有极大值为,
当时,递增,且
所以当时,
所以
(3)由(2)可知:
由两个极值点分别为
所以
所以
则
由,所以两边取对数可知:
,所以
则,所以
由
所以
令
所以,则
若不等式恒成立
等价于,恒成立
令,
则
当,即,可得
所以在单调递增,又
所以当时,恒成立
当,即时,
若,
若,
所以在递增,在递减
又,所以当时,不恒成立
综上所述:
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【题目】(12分)已知函数 .
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在 上为单调增函数,求a的取值范围;
(3)设m,n为正实数,且m>n,求证: .
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【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)若,求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程;
(2)设点,曲线与直线交于两点,求的最小值.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.命题“”的否定是“”
B.命题“已知,若则或”是真命题
C.命题“若则函数只有一个零点”的逆命题为真命题
D.“在上恒成立”在上恒成立
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【题目】如图所示的几何体中,垂直于梯形所在的平面,为的中点,,四边形为矩形,线段交于点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使得与平面所成角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
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