Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面；

（2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（1）证明：底面为菱形，，

底面，平面，

又，平面，

平面；

（2）解：，，为等边三角形，

.

底面，是直线与平面所成的角为，

在中，由，解得.

如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴

建立空间直角坐标系.

则，，，，.

，，，.

设平面与平面的一个法向量分别为，.

由，取，得；

由，取，得.

.

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.