Question

【题目】一间宿舍内住有甲乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件.

（1）求.

（2）设表示“第天甲值日”的概率，则，其中，.

（ⅰ）求关于的表达式.

（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）（ⅰ）（ⅱ）不公平，理由见解析

【解析】

（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果；

（2）（ⅰ）代入的值后，构造等比数列可求得结果；

（ⅱ）根据可知游戏不公平.

（1）由题意可知，事件表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.

抛掷两枚骰子所得点数的情况有种，事件包含的情况有，共6种情况.所以.

所以.

（2）（ⅰ）由（1）可知.

整理可得，

所以是首项为，公比为的等比数列.

所以.

所以.

（ⅱ）不公平.

理由如下：因为恒成立，即每天甲值日的概率都大于，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平.