【题目】如图,在三棱台中,
分别为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)若平面
,
,
,求平面
与平面
所成角(锐角)的大小.
【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ)
【解析】
试题(Ⅰ)思路一:连接,设
,连接
,先证明
,从而由直线与平面平行的判定定理得
平面
;思路二:先证明平面
平面
,再由平面与平面平行的定义得到
平面
.
(Ⅱ)思路一:连接,设
,连接
,证明
两两垂直, 以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,利用空量向量的夹角公式求解;思路二:作
于点
,作
于点
,连接
,证明
即为所求的角,然后在三角形中求解.
试题解析:
(Ⅰ)证法一:连接,设
,连接
,
在三棱台中,
为
的中点
可得
所以四边形为平行四边形
则为
的中点
又为
的中点
所以
又平面
平面
所以平面
.
证法二:
在三棱台中,
由为
的中点
可得
所以四边形为平行四边形
可得
在中,
为
的中点,
为
的中点,
所以
又,所以平面
平面
因为平面
所以平面
(Ⅱ)解法一:
设,则
在三棱台中,
为
的中点
由,
可得四边形为平行四边形,
因此
又平面
所以平面
在中,由
,
是
中点,
所以
因此两两垂直,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
所以
可得
故
设是平面
的一个法向量,则
由可得
可得平面的一个法向量
因为是平面
的一个法向量,
所以
所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为
解法二:
作于点
,作
于点
,连接
由平面
,得
又
所以平面
因此
所以即为所求的角
在中,
由∽
可得
从而
由平面
平面
得
因此
所以
所以平面与平面
所成角(锐角)的大小为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一间宿舍内住有甲乙两人,为了保持宿舍内的干净整洁,他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生,游戏规则如下:第1天由甲值日,随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为),若得到两枚骰子的点数之和小于10,则前一天值日的人继续值日,否则当天换另一人值日.从第2天开始,设“当天值日的人与前一天相同”为事件
.
(1)求.
(2)设表示“第
天甲值日”的概率,则
,其中
,
.
(ⅰ)求关于
的表达式.
(ⅱ)这种游戏规则公平吗?说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查,得到如下数据:
每周移动支付次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 | 总计 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 | 45 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 | 55 |
总计 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 | 100 |
(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,能否在犯错误概率不超过0.005的前提下,认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关?
(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,视频率为概率,在我市所有“移动支付达人”中,随机抽取4名用户.
①求抽取的4名用户中,既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率;
②为了鼓励男性用户使用移动支付,对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元,记奖励总金额为X,求X的分布列及均值.
附公式及表如下:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线
:
(
,
为参数).在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
:
.
(1)说明是哪一种曲线,并将
的方程化为极坐标方程;
(2)若直线的方程为
,设
与
的交点为
,
,
与
的交点为
,
,若
的面积为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,直线
:
(
为参数,
),曲线
:
(
为参数),
与
相切于点
,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程及点
的极坐标;
(2)已知直线:
与圆
:
交于
,
两点,记
的面积为
,
的面积为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分13分)某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元;生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润?
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