Question

【题目】已知，为椭圆上的两点，满足，其中，分别为左右焦点.

（1）求的最小值；

（2）若，设直线的斜率为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

（1）由,当位于椭圆的上下顶点时,即可求解；

（2）先由可得,再由可得是两个直角三角形和的公共斜边,即可得线段中点的横坐标为,设直线的方程为,与椭圆方程联立,可得,,,进而利用整理后即可求解.

解:（1）因为（为坐标原点）,

显然,

所以的最小值为2.

（2）因为,,且,

所以,

又,所以是两个直角三角形和的公共斜边,即得线段的中点到,两点的距离相等,

因为,所以线段中点的横坐标为,

设直线的方程为,联立椭圆方程,得,

设,,则,

又因为,

所以（1）

又,,

因为,即,得,

即（2）

由（1）（2）,得,解得.