Question

【题目】已知圆经过点，，且圆心在直线上.

（1)求圆的方程；

（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程.

（3）若直线与圆相切，且与，轴的正半轴分别相交于，两点，求的面积最小时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（1)由题意，可得的垂直平分线方程为，联立方程组求得圆心，进而求得圆的方程；

（2）当直线的斜率存在时，设斜率为，得到直线方程，利用圆心到直线的距离和圆的垂径定理，求得，得出直线的方程；当直线的斜率不存在时，验证直线的方程为，满足题意，即可得到结论；

（3）设直线l的方程为，根据与圆相切，利用三角形的面积，结合基本不等式，求得的值，即可得到答案.

（1)由题意，可得的中点坐标为，，直线的斜率为，

可得的垂直平分线方程为，

联立方程组，解答，即圆心坐标为，

所以半径为 ，所以圆的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设斜率为，

因为直线过点，所以直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，

由垂径定理，，解得，

则直线的方程为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意，

所以直线的方程为或.

（3）设直线l的方程为：，

因为与轴的正半轴分别相交于两点，

所以，且，

又与圆相切，则点到直线的距离等于圆的半径2，

即，①，

又由 ②

将①代入②得，

当且仅当时取等号，所以当时，的面积最小，

此时，

所以直线的方程为：.