Question

（2008•徐汇区二模）已知关于x的方程x²-ax+ab=0，其中a，b为实数，且a≠0．
（1）若x=1-

3

i (i为虚数单位）是该方程的一个根，求a，b的值；
（2）当该方程没有实数根时，证明：

b

a

＞

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知，得另一根为x′=1+

3

i，利用一元二次方程根与系数的关系求出a和b的值
（2）方程没有实数根，则△＜0，化简后再证明．

解答：解：（1）根据一元二次方程有虚数解时，两根互为共轭虚数．由x=1-

3

i，得另一根为x′=1+

3

i，
由韦达定理得x+x′=a=2，ab=x•x′=(1-

3

i)(1+

3

i)=4，b=2．----------------（6分）
（2）方程没有实数根 则由△=a2-4ab＜0⇒1-

4b

a

＜0⇒

b

a

＞

1

4

----------（12分）

点评：本题考查一元二次方程解，及根与系数的关系．若一元二次方程有虚数解，则两根互为共轭虚数，且韦达定理仍然成立．