Question

已知函数f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[-2，-1]上，f(x)≥

2

e2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-e^xx²，f（1）=-e．
f^′（x）=-（x²+2x）e^x，则k=f^′（1）=-3e．
∴切线方程为：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，得：a≥

1

5

．
f^′（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]．
∵a≥

1

5

，∴f^′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上单调递增，
要使f(x)≥

2

e2

恒成立，则f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，解得a≥

1

5

．