Question

17．设集合A={（x，y）|（x+3）²+（y-4）²=5}，B={（x，y）|（x+3）²+（y-4）²=20}，C={（x，y）|2|x+3|+|y-4|=λ}，若（A∪B）∩C≠∅，则实数λ的取值范围是[$\sqrt{5}$ 10]．

Answer 1

分析 集合A，B表示以（-3，4）为圆心，半径分别为$\sqrt{5}$，$2\sqrt{5}$的圆，集合C在λ＞0时，表示以（-3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，进而可得实数λ的取值范围．

解答 解：集合A={（x，y）|（x+3）²+（y-4）²=5}表示以（-3，4）点为圆心半径为$\sqrt{5}$的圆，
集合B={（x，y）|（x+3）²+（y-4）²=$2\sqrt{5}$}表示以（-3，4）点为圆心半径为$2\sqrt{5}$的圆，
集合C={（x，y）|2|x+3|+|y-4|=λ}在λ＞0时，表示以（-3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，
如下图所示：

若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，
当λ＜$\sqrt{5}$时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足题意；
当菱形与大圆相切时，圆心（-3，4）到菱形2|x+3|+|y-4|=λ任一边的距离等于大于半径，
当x＞-3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y+2-λ=0，
由d=$\frac{|-6+4+2-λ|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，得：λ=10，
故λ＞10时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足题意．
综上实数λ的取值范围是[$\sqrt{5}$，10]，
故答案为：[$\sqrt{5}$ 10]．

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，考查数形结合的解题思想方法，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关关键，是中档题．