Question

12．设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=2sinx-cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinx-$\frac{1}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x+α），（其中，cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$），由题意可得θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ 的值．

解答 解：当x=θ时，函数f（x）=2sinx-cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinx-$\frac{1}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x+α）取得最大值，
（其中，cosα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$），
∴θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈z，
∴cosθ=cos（2kπ+$\frac{π}{2}$-α）=cos（$\frac{π}{2}$-α）=sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．