Question

20．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=6，点E、F分别在棱BB₁、CC₁上，且BE=$\frac{1}{3}$BB₁，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁．
（1）作出平面AEF与平面ABC的交线l（写出作法），并判断l与平面BCFE的位置关系；
（2）求多面体B₁E-AFC₁A₁的体积．

Answer 1

分析 （1）在平面BCC₁B₁内延长FE，CB交于G，连接AG，则AG即为平面AEF与平面ABC的交线l，进而判定出位置关系．
（2）多面体B₁E-AFCA₁的体积=${V}_{三棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V_四棱锥A-BCFE=S_△ABC•AA₁-$\frac{1}{3}$S_{四边形BCFE}•AH即可得出．

解答 解：（1）在平面BCC₁B₁内延长FE，CB交于G，连接AG
则AG即为平面AEF与平面ABC的交线l，故l与平面BCFE是相交的．
（2）过A作AH⊥BC于H，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵平面BCC₁B₁⊥平面ABC，平面BCC₁B₁∩平面ABC=BC，
∴AH⊥平面BCC₁B₁．
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴$AH=\sqrt{2}$．
∵AA₁=6，点E、F分别在棱BB₁、CC₁上，且$BE=\frac{1}{3}B{B_1}，{C_1}F=\frac{1}{3}C{C_1}$，
∴四边形BCFE的面积是$\frac{2+4}{2}×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$．
∴${V_{四棱锥A-BCFE}}=\frac{1}{3}•{S_{BCFE}}•AH=4$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×{2}^{2}$=2，
∴多面体B₁E-AFC₁A₁的体积=${V}_{三棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-V_四棱锥A-BCFE
=S_△ABC•AA₁-$\frac{1}{3}$S_{四边形BCFE}•AH=12-4=8．

点评 本题考查了直三棱柱的体积计算公式、正四棱锥的体积计算公式、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．