Question

2．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，DE交AB于点F，且AB=2BP=8，
（1）求PF的长度；
（2）若圆F与圆O 内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OD，OE，由同弧所对圆周角和圆心角的关系，结合条件可得∠CDE=∠AOC，由对角相等，证得△PFD∽△PCO，再由切割线定理，计算即可得到所求PF的长；
（2）由两圆内切的条件，可得圆F的半径，再由切割线定理，计算即可得到所求PT的长．

解答 解：（1）连接OC，OD，OE，
由同弧所对圆周角和圆心角的关系，
可得∠COE=2∠CDE，
结合题中条件$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，可得∠CDE=∠AOC，
又∠AOC=∠P+∠OCP，即∠CDE-∠P=∠OCP，
从而∠PFD=∠OCP，∠P=∠P，
故△PFD∽△PCO，即$\frac{PF}{PC}$=$\frac{PD}{PO}$，
由AB=2BP=8，可得PB=4，PA=12，PO=8．
由割线定理可得，PC•PD=PA•PB=48，
则PF=$\frac{PC•PD}{PO}$=$\frac{48}{8}$=6；
（2）由（1）可得OF=PO-PF=8-6=2，
若圆F与圆O内切，
设圆F的半径为r，由OF=4-r=2，
可得r=2，即OB为圆F的直径，
由切割线定理可得，PT²=PB•PO=4×8=32，
可得PT=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查同弧所对圆周角和圆心角的关系，圆的切割线定理和两圆内切的条件，同时考查相似三角形的判定和性质，考查推理和运算能力，属于中档题．