Question

已知函数f（x）=x²-2ax（a＞0）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上不等式|f（x）|≤5恒成立，求出M（a）的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据二次函数的图象和性质，结合函数对折变换，由已知中在整个区间[0，M（a）]上不等式|f（x）|≤5恒成立，分-a²＜-5时和-a²≥-5时，两种情况分别求出对应的M（a）的解析式，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：由a＞0，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
当-a²＜-5，即a＞

5

时，
要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=-5的较小的根，
即M（a）=a-

a2-5

；
当-a²≥-5，即0＜a≤

5

时，
要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=5的较大的根，
即M（a）=a+

a2+5

；
所以M（a）=

a- a2-5 ，a＞ 5 a+ a2+5 ，0＜a≤ 5

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的最值，对折变换，分类讨论思想，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．