Question

15．（1）若函数f（x）=x³+bx²+cx+d的单调递减区间（-1，2）求b，c的值；
（2）设$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2ax$，若f（x）在$（\frac{2}{3}，+∞）$上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（3）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+$\frac{m}{2}$]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为3x²+2bx+c=0的两根分别为-1，2，根据根与系数的关系求出a，b的值即可；
（2）函数f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（$\frac{2}{3}$，+∞）上有解，只需f′（$\frac{2}{3}$）＞0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论；
（3）求出函数g（x）的导数，问题转化为m+4＜$\frac{2}{t}$-3t，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3x²+2bx+c，
因为f（x）=x³+bx²+cx+d的单调递减区间（-1，2），
所以方程f'（x）=3x²+2bx+c=0的两根分别为-1，2，
即1=-$\frac{2b}{3}$，-2=$\frac{c}{3}$，
所以$b=-\frac{3}{2}，c=-6$；
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax，
∴函数的导数为f′（x）=-x²+x+2a，
若函数f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在单调递增区间，
即f′（x）＞0在（$\frac{2}{3}$，+∞）上有解
∵f′（x）=-x²+x+2a，
∴只需f′（$\frac{2}{3}$）＞0即可，
由f′（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{9}$+$\frac{2}{3}$+2a=2a+$\frac{2}{9}$＞0，解得a＞-$\frac{1}{9}$，
当a=-$\frac{1}{9}$时，f′（x）=-x²+x-$\frac{2}{9}$=-$\frac{1}{9}$（3x-2）（3x-1），
则当x＞$\frac{2}{3}$时，f′（x）＜0恒成立，
即此时函数f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上为减函数，不满足条件．
（3）由f′（2）=-$\frac{a}{2}$=1，a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=x³+（$\frac{m}{2}$+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
令g′（x）=0得，△=（m+4）²+24＞0，
故g′（x）=0两个根一正一负，即有且只有一个正根，
∵函数g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，
∴g′（x）=0在（t，3）上有且只有实数根，
∵g′（0）=-2＜0，∴g′（t）＜0，g′（3）＞0，
∴m＞-$\frac{37}{3}$，（m+4）t＜2-3t²，故m+4＜$\frac{2}{t}$-3t，
而y=$\frac{2}{t}$-3t在t∈[1，2]单调减，
∴m＜-9，
综合得-$\frac{37}{3}$＜m＜-9．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．