Question

5．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）平面A₁AC⊥面AB₁D₁．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连结AO₁，证明OC₁∥AO₁，然后证明C₁O∥面AB₁D₁．
（2）证明A₁C⊥B₁D₁，A₁C⊥AB₁，推出A₁C⊥面AB₁D₁，即可证明平面A₁AC⊥面AB₁D₁．

解答 证明：（1）连结A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
连结AO₁，因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体∴A₁ACC₁是平行四边形
∴AC∥A₁C₁且 AC=A₁C₁．
又O，O₁分别是AC，A₁C₁的中点，∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，

∴O₁C₁AO是平行四边形
∴OC₁∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，O₁C?面AB₁D₁
∴C₁O∥面AB₁D₁．
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁，∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥面A₁C₁C，
即A₁C⊥B₁D₁，
同理可证A₁C⊥AB₁，
又AB₁∩B₁D₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁，
∴平面A₁AC⊥面AB₁D₁．

点评 本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．