Question

14．某企业一天中不同时刻的用电量y（万千瓦时）关于时间t（小时，0≤t≤24）的函数y=f（t）近似满足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．如图是函数y=f（t）的部分图象（t=0对应凌晨0点）．
（Ⅰ）根据图象，求A，ω，φ，B的值；
（Ⅱ）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限；又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量g（t）（万千瓦时）与时间t（小时）的关系可用线性函数模型g（t）=-2t+25（0≤t≤12）模拟．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计停产时间在中午11点到12点间，为保证该企业既可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图象最值求A，B，根据周期求出ω，利用特殊点求出φ的值；
（Ⅱ）h（t）=f（t）-g（t），设h（t₀）=0，则t₀为该企业的停产时间．易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数，确定t₀∈（11.25，11.5）．即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由图知$T=12=\frac{2π}{ω}$，∴$ω=\frac{π}{6}$．    （1分）
$A=\frac{{{y_{max}}-{y_{min}}}}{2}=\frac{2.5-1.5}{2}=\frac{1}{2}$，$B=\frac{{{y_{max}}+{y_{min}}}}{2}=\frac{2.5+1.5}{2}=2$．（3分）
∴$y=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}x+φ）+2$．代入（0，2.5），得$φ=\frac{π}{2}+2kπ$，
又0＜φ＜π，∴$φ=\frac{π}{2}$． （5分）
综上，$A=\frac{1}{2}$，$ω=\frac{π}{6}$，$φ=\frac{π}{2}$，B=2．  即$f（t）=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{2}）+2$． （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（t）=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{2}）+2=\frac{1}{2}cos\frac{π}{6}t+2$．
令h（t）=f（t）-g（t），
设h（t₀）=0，则t₀为该企业的停产时间．易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数．
由h（11）=f（11）-g（11）＜0，h（12）=f（12）-g（12）＞0，
又$h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）=\frac{1}{2}cos\frac{23π}{12}+2-2=\frac{1}{2}cos（-\frac{π}{12}）＞0$，则t₀∈（11，11.5）．
即11点到11点30分之间（大于15分钟）
又$h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）=\frac{1}{2}cos\frac{45π}{24}+2-2.5＜\frac{1}{2}×1-0.5=\frac{1}{2}-0.5=0$，
则t₀∈（11.25，11.5）．即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．（11分）
答：估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产．（12分）

点评 本题考查三角函数图象与性质，考查三角函数解析式的确定，考查学生的计算能力，属于中档题．