Question

6．如图所示，四边形ABCD和四边形ADD₁A₁均为矩形且所在的平面互相垂直，E为线段AB的中点．
（1）证明：直线BD₁∥平面A₁DE；
（2）若AB=2AD=2AA₁=2，求点D₁到平面A₁DE的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AD₁，A₁D，交于点F，连结EF，则EF∥BD₁，由此能证明直线BD₁∥平面A₁DE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D₁到平面A₁DE的距离．

解答 证明：（1）连结AD₁，A₁D，交于点F，连结EF，
∵四边形ADD₁A₁为矩形，E为线段AB的中点，
∴EF∥BD₁，
∵EF?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE，
∴直线BD₁∥平面A₁DE．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=2AD=2AA₁=2，
∴D₁（0，0，2），A₁（1，0，2），D（0，0，0），E（1，1，0），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），
设平面A₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-1），
∴点D₁到平面A₁DE的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．