Question

11．根据已知条件求方程：
（1）求与椭圆$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1有相同焦点，且离心率$e=\frac{5}{4}$的双曲线的标准方程．
（2）已知椭圆的中心在原点，且过点P（3，2），焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设要求的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{25-m}$=1（m，25-m＞0），可得e=$\frac{5}{4}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{25-m}{m}}$，解得m即可得出．
（2）设要求的椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$=1，2a=3×2b，解出即可得出．

解答 解：（1）设与椭圆$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1有相同焦点，且离心率$e=\frac{5}{4}$的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{25-m}$=1（m，25-m＞0），则e=$\frac{5}{4}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{25-m}{m}}$，解得m=16．
∴要求的双曲线标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）设要求的椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$=1，2a=3×2b，解得b²=5，a²=45．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．