Question

3．设m是实数，f（x）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）
（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；
（2）试用定义证明：对于任意m，f（x）在R上为单调递增函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，可得f（-x）+f（x）=0，化简整理，解方程可得m的值（也可通过f（0）=0）；
（2）运用单调性的定义证明，分取值、作差、变形和定符号、下结论等；
（3）由于f（x）为奇函数且在R上为增函数，由题意可得k•3^x＜-3^x+9^x+2即k＜-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$，运用基本不等式求得右边函数的最小值，即可得到所求k的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为奇函数，
可得f（-x）=m-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=m-$\frac{2•{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，且f（-x）+f（x）=0，
∴2m-$\frac{2（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=2m-2=0（注：通过f（0）=0求可以，但要验证）
∴m=1；
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（m-$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{1}}}$）-（m-$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{2}}}$-$\frac{2}{1+{2}^{{x}_{1}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$
∵x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
∴0＜2${\;}^{{x}_{1}}$＜2${\;}^{{x}_{2}}$，即2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）． 
则f（x）在R上为增函数．
（3）由于f（x）为奇函数且在R上为增函数，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0得：f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2即k＜-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$，
由3^x＞0，可得y=-1+3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$≥-1+2$\sqrt{{3}^{x}•\frac{2}{{3}^{x}}}$=2$\sqrt{2}$-1，
当且仅当3^x=$\frac{2}{{3}^{x}}$，即x=log₃$\sqrt{2}$时，取得最小值2$\sqrt{2}$-1，
则k＜2$\sqrt{2}$-1．
故实数k的取值范围是（-∞，2$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，注意运用定义法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．