Question

18．（1）椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆E的方程；
（2）求经过M（2，$\sqrt{2}$），N（$\sqrt{6}$，1）两点的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，其中m，n＞0，m≠n．把M（2，$\sqrt{2}$），N（$\sqrt{6}$，1）代入可得：$\frac{4}{m}+\frac{2}{n}$=1，$\frac{6}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，联立解得即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得b=1，a²=2．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，其中m，n＞0，m≠n．
把M（2，$\sqrt{2}$），N（$\sqrt{6}$，1）代入可得：$\frac{4}{m}+\frac{2}{n}$=1，$\frac{6}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，
联立解得m=8，n=4．
∴经过M（2，$\sqrt{2}$），N（$\sqrt{6}$，1）两点的椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．