Question

10．已知⊙C：x²+y²-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；
（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆C的圆心和半径，整理直线方程为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，求出直线2x+y-7=0，x+y-4=0的交点，判断它在圆内，即可得证；
（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，连接CP，则CP⊥PQ，由平面几何知识可得点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，求得圆心和半径，注意运用中点坐标公式，再由当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小，运用勾股定理即可得到所求值．

解答 解：（1）证明：⊙C：x²+y²-2x-4y-20=0，
即（x-1）²+（y-2）²=25，圆心C（1，2），半径r=5，
又直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
化为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则直线l恒过定点Q（3，1），
由|CQ|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5，
可得Q在圆C内，则直线l与⊙C恒有两个交点；
（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，
由（1）可知CP⊥PQ，
点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，
线段CQ的中点为（2，$\frac{3}{2}$），|CQ|=$\sqrt{5}$，
则线段AB中点P的轨迹方程为${（x-2）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{4}$；
由圆的几何性质可知，当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小．
弦心距$d=|{CQ}|=\sqrt{5}$，⊙C的半径为5，
可得|AB|_min=2$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系的证明，注意运用直线恒过定点，考查线段中点的轨迹方程，注意运用几何法，考查弦长的最小值，注意运用弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．