Question

20．已知圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=1，P点坐标为（2，3），
求：（1）过P点的圆的切线长．
（2）过P点的圆的切线方程．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理，求出过P点的圆的切线长．
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可过P点的圆的切线方程．

解答 解：（1）圆的圆心C为（1，1），CA=CB=1，|PC|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，则切线长|PA|=$\sqrt{5-1}$=2，…（4分）
（2）若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-3=k（x-2）
即kx-y-2k+3=0
则圆心到切线的距离$d=\frac{|k-1-2k+3|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=\frac{3}{4}$
故切线的方程为3x-4y+6=0…（8分）
若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切．…（11分）
综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．