Question

19．已知椭圆${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$和点$A（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$、$B（{\frac{1}{2}，1}）$，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（　　）

• A． [-4，-2]
• B． [-2，-1]
• C． [-4，-1]
• D． $[{-1，-\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 由题意设出椭圆${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$的某弦的两个端点分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中点为M（x₀，y₀），把P、Q的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ的斜率与AB中点坐标的关系得答案．

解答 解：设椭圆${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$的某弦的两个端点分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中点为M（x₀，y₀），
则${{x}_{1}}^{2}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，${{x}_{2}}^{2}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1$，
两式作差可得：${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{4{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$-\frac{4×\frac{1}{2}}{{y}_{0}}=-\frac{2}{{y}_{0}}$，
由题意可知，$\frac{1}{2}≤$y₀≤1，
∴k=$-\frac{2}{{y}_{0}}$（$\frac{1}{2}≤$y₀≤1），则k∈[-4，-2]．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属中档题．