Question

9．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一个焦点，抛物线与双曲线交点为$P（{\frac{3}{2}，\sqrt{6}}）$，求抛物线方程和双曲线方程．

Answer 1

分析 首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点$P（{\frac{3}{2}，\sqrt{6}}）$，求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a²+b²=c²，求解即可．

解答 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．
设抛物线方程为y²=4cx，
∵抛物线过点$P（{\frac{3}{2}，\sqrt{6}}）$，6=4c•$\frac{3}{2}$．
∴c=1，故抛物线方程为y²=4x．
又双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$过$P（{\frac{3}{2}，\sqrt{6}}）$，
∴$\frac{9}{4{a}^{2}}-\frac{6}{{b}^{2}}$=1．又a²+b²=c²=1，∴a²=$\frac{1}{4}$或a²=9（舍）．
∴b²=$\frac{3}{4}$，
故双曲线方程为：4x²-$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．