Question

18．若函数f（x）=x（x-c）²在x=2处有极大值，且对于任意x∈[5，8]，f（x）-m≤0恒成立，则实数m的取值范围为[32，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，计算f′（2）的值，求出c的值，从而求出f（x）在[5，8]的单调性，得到函数的最大值，求出m的范围即可．

解答 解：f（x）=x³-2cx²+c²x，f′（x）=3x²-4cx+c²，
f′（2）=0⇒c=2或c=6；
若c=2，f′（x）=3x²-8x+4，
令f′（x）＞0⇒x＜$\frac{2}{3}$或x＞2，f′（x）＜0⇒$\frac{2}{3}$＜x＜2，
故函数在（-∞，$\frac{2}{3}$）及（2，+∞）上单调递增，在（$\frac{2}{3}$，2）上单调递减，
∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，
故c=6，
对于任意x∈[5，8]，f（x）-m≤0恒成立，
即m≥f（x）_max，x∈[5，8]，
而f（x）=x（x-6）²，f′（x）=3x²-24x+36=3（x-2）（x-6），
令f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，
令f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，
故f（x）在[5，6）递减，在（6，8]递增，
f（x）的最大值是f（5）或f（8），
而f（5）=5，f（8）=32，
故m≥32，
故答案为：[32，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．