Question

6．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n-2a_na_n+1，a_n≠0且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）令${b_n}={（-1）^{n+1}}n{a_n}{a_{n+1}}$，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1，取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，运用等差数列的通项公式即可得出．
（2）${b_n}={（-1）^{n+1}}n{a_n}{a_{n+1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，首项为1，等差数列为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$；
（2）解：${b_n}={（-1）^{n+1}}n{a_n}{a_{n+1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$
=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_2n=$\frac{1}{4}$[（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{4n-3}$+$\frac{1}{4n-1}$）-（$\frac{1}{4n-1}$+$\frac{1}{4n+1}$）]
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{4n+1}$）=$\frac{n}{4n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．