Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=$\sqrt{5}$．
（1）求证：PD⊥PB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求$\frac{AM}{AP}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥AB，PD⊥PA，从而PD⊥面PAB，由此能证明PD⊥PB．
（2）取AD中点为O，连结CO，PO，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设$\frac{AM}{AP}=λ$，M（0，y'，z'），利用向量法能求出存在M点，即当$\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$时，M点即为所求．

解答 证明：（1）∵面PAD⊥面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥面PAD，∴PD⊥AB
又∵PD⊥PA，∴PD⊥面PAB，
∴PD⊥PB．…（3分）
解：（2）取AD中点为O，连结CO，PO，
∵$CD=AC=\sqrt{5}$∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD
以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，-1，0），C（2，0，0），
则$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-1，0）．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面PDC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2），
设PB与面PCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（7分）
（3）假设存在M点使得BM∥面PCD，设$\frac{AM}{AP}=λ$，M（0，y'，z'），
由（2）知A（0，1，0），P（0，0，1），$\overrightarrow{AP}=（{0，-1，1}）$，
B（1，1，0），$\overrightarrow{AM}=（{0，y'-1，z'}）$，
∴$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP}⇒M（{0，1-λ，λ}）$，$\overrightarrow{BM}=（{-1，-λ，λ}）$
∵BM∥面PCD，$\overrightarrow n$为PCD的法向量，∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow n=0$
即$-\frac{1}{2}+λ+λ=0$∴$λ=\frac{1}{4}$
综上所述，存在M点，即当$\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$时，M点即为所求．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点的位置的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．