Question

13．在△ABC中，cos2A+cos2C=2cos2B，求证：$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{tanB}$．

Answer 1

分析 将已知移项后，利用和差化积公式化简，整理，利用同角三角函数基本关系式即可证明．

解答 证明：cos2A+cos2C=2cos2B，
⇒cos2A-cos2B=cos2B-cos2C，
⇒2sin（A+B）sin（A-B）=2sin（B+C）sin（B-C），
⇒sinCsin（A-B）=sinAsin（B-C），
⇒sinC（sinAcosB-cosAsinB）=sinA（sinBcosC-cosBsinC），
⇒2sinAcosBsinC=cosAsinBsinC+sinAsinBcosC，（两边同除以sinAsinBsinC）
⇒$\frac{2}{tanB}=\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$．
得证．

点评 本题主要考查了三角函数恒等式的证明，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．